Pin Up promosyon kampanyası
Haberler

Sizin İçin İkizkenar Üçgen Yok!

The Riddler’a hoş geldiniz. Her hafta, burada değer verdiğimiz şeylerle ilgili problemler öneriyorum: matematik, mantık ve olasılık. Her hafta iki bulmaca sunulur: ısırık boyutlu bir şey isteyenler için Riddler Express ve yavaş bulmaca hareketinde olanlar için Riddler Classic. Her ikisi için de doğru cevabı gönderin

Önemli küçük yazı: ? Kazanmak ? için doğru cevabınızı daha önce almam gerekiyor 11: 59 pm Pazartesi doğu saati. Harika bir hafta sonu geçirin!

“data-footnote-id =” 1 “href =” http://fivethirtyeight.com/#fn-1 “> 1 ve sonraki sütunda bir not alabilirsiniz. Lütfen yanıtlarınızı herkesle paylaşmak için Pazartesi gününe kadar bekleyin! Bir ipucuna ihtiyacınız varsa veya tavan arasında toz toplayan favori bir bulmaca, beni Twitter’da bul.

Riddler Express

The Riddler Cheese Company, inç cinsinden ölçüldüğünde kenar uzunlukları Pisagor üçlüsü olan üçgen peynir dilimleri olan “üç katlı zanaat” adı verilen peynirleri üretiyor.

Ancak, şirketin dilimleme makinesi kısa süre önce arızalandı ve kenar uzunlukları 5 inç olan bir kare dilimler stoğu üretti. Bu durumu kurtarmak için, her 5 inçlik kareden yapılabilecek en büyük Pisagor dilimleri sayısı nedir? (Not: Sadece kareden parçalar kesebilirsiniz. Parçaları birbirine eritmek veya yapıştırmak yok!)

Ekstra kredi: En küçük kare nedir 100 karenin yüzdesi zanaat üçe bölünebilir mi?

Cevabınızı gönderin

Riddler Classic

Bu haftanın Klasiği, yeni kitabı “Shape” satışa çıkan Jordan Ellenberg tarafından sunuluyor. Mayıs 25.

“Shape” de görünen birçok geometriden biri, büyük Paul Erdős. 1946, Erd’nin kendisi “ikizkenar kümeler” denen şey hakkında bir bilmece oluşturdu: d içine kaç nokta yerleştirebilirsiniz – herhangi üçü bir ikizkenar üçgen oluşturacak şekilde boyutsal uzay?

İki boyutta, en büyük ikizkenar kümesinin tam olarak altı noktası vardır ve beşi bir normalin köşelerini oluşturur. beşgen ve ortadaki altıncı nokta. Üç boyutta, en büyük ikizkenar kümesinin sekiz noktası vardır; dört boyutta, en büyük kümede 11 puan. Ve sekizden büyük boyutlarda, en büyük ikizkenar kümelerinin ne olabileceğini kimse bilmiyor!

Ama bu hafta Ürdün ne dediğini soruyor anti – ikizkenar kümeler. Bir N × N nokta ızgarası. Bunların en büyük alt kümesi nedir N 2 puan öyle ki üçü yok bir ikizkenar üçgen oluşturur? (Not: Üçgenleri veya sıfır alanlı üçgenleri bozun, burada üçgen olarak sayılır, üç köşeleri farklıdır.)

Aşağıda gösterildiği gibi, 2 × 2 ızgarada ayarlanan en büyük ikizkenar karşıtı iki noktaya sahiptir; 3 × 3 bir ızgara için, en büyük ikizkenar karşıtı setin dört noktası vardır. (Not: Her iki ızgara için bu maksimum puan sayılarına sahip birden fazla set vardır.)

a 2x2 grid of points with two points highlighted (diagonally opposite). a 3x3 grid of points with four points highlighted (the two leftmost points in the top row and the two rightmost points in the bottom row).

4 × 4 ızgara için ayarlanmış en büyük ikizkenar karşıtı kaç nokta var?

Ekstra kredi: Peki ya 5 × 5 ızgara, 6 × 6 ızgara veya hatta daha büyük kare ızgaralar? Genel N için en büyük anti-ikizkenar kümesinin boyutu için bir ifade (veya sınırlar) bulabilir misiniz × N ızgara? (Genel durumla ilgili herhangi bir şey bulursanız, Jordan bunu duymak ister!)

Cevabınızı gönderin

Geçen haftanın Riddler Ekspresine Çözüm

Geçen haftanın galibi olan New York’tan Erik Voigt’e tebrikler Riddler Express.

Geçen hafta siz ve sonsuz sayıda arkadaşınız bir pastayı paylaşıyordunuz ve onu bölmenin oldukça tuhaf iki yolunu buldunuz.

İlk yöntemde, 1. Arkadaş pastanın yarısını, 2. Arkadaş kalanların üçte birini aldı , Arkadaş 3, Arkadaş 2’den sonra kalanın dörtte birini, Arkadaş 4, Arkadaş 3’ten sonra kalanın beşte birini aldı ve bu böyle devam etti. Sonsuz sayıda arkadaşınız kendi parçalarını aldıktan sonra, geriye ne kaldıysa onu alırsınız.

İkinci yöntemde, arkadaşlarınız sizi biraz daha fazla kurtarmaya karar verdiler. Bu sefer Arkadaş 1 pastanın 1 / 2’sini 2 (veya dörtte birini) aldı, Arkadaş 2 1/3 2 (veya dokuzda bir)

aldı ne kaldı , 3. Arkadaş 1/4 2 Arkadaş 3’ten sonra ne kaldıysa, vb. Yine, sonsuz sayıda arkadaşınız kendi parçalarını aldıktan sonra, geriye ne kaldıysa sizde var.

Bu yöntemlerin her birini kullanarak pastadan ne kadar kazandınız?

Bu problemlerin her ikisi için de akıllıca bir matematik hareketi, her arkadaş kendi payını aldıktan sonra pastanın ne kadarının kaldığına baktı. Dolayısıyla, ilk yöntem için 1/2, Arkadaş 1’den sonra kaldı. Arkadaş 2, kalanın 1 / 3’ünü aldı, yani orijinal pastanın 2 / 3’ünü veya 2 / 3’ünü geride bıraktılar. . Benzer şekilde Arkadaş 3’ten sonra 3/4 · 2/3 · 1/2 kek kaldı.

Bu ürünlerdeki fraksiyonların sırasını tersine çevirmek, N arkadaşlarının parçalarını aldıktan sonra kalan miktar 1/2 × 2/3 × 3/4 idi × 4/5 × 5/6 × 6/7 ×… × N / ( N + 1). Her kesrin paydası, sonraki kesrin payıyla birlikte iptal edildi, böylece toplam ürün sadece 1 / ( N + 1). Sonsuz sayıda arkadaş sınırında, bu ürün sıfıra

gitti , yani ilk yöntemi kullanarak pastanız yok!

İkinci yöntem daha umut verici görünüyordu. Bu sefer, N arkadaşın kendi parçalarını aldıktan sonra kalan miktar (2 2 – 1) / 2 oldu 2 × (3 2 – 1) / 3 2 × (4 2 – 1) / 4 2 ×… × [(N+1)2−1] / ( N + 1) 2 . İlk başta, bunu değerlendirmek oldukça zor görünebilirdi. Ancak, Florida, Tampa’dan çözücü Elaine H.’nin belirttiği gibi, a 2 – 1 her zaman ( a + 1) ( a – 1 ).

Bu kimliği kullanarak, daha ağır olan ürünü (1 × 3) / (2 × 2) × (2 × 4) / (3 × 3) × (3 × 5) / (4 × 4) × (4 × 6) / (5 × 5) ×… × [N×(N+2)] / [(N+1)×(N+1)]. Bu sefer, her paydadaki iki faktör, hem önceki hem de sonraki kesirlerdeki paylardaki faktörlerle birlikte birbirini götürdü. Sonunda kalan tek şey 1/2 × ( N + 2) / ( N + 1). Sonsuz sayıda arkadaş sınırında, kesir ( N + 2) / ( N + 1) 1’e yaklaştı, yani tam olarak anladınız ikinci yöntemi kullanarak pastanın yarısı . Bu yarı makul bir kısım!

Ekstra kredi için, ikinci yöntemin ürünündeki diğer tüm terimleri kaldırıp sizi (2 2 – 1) / 2 2 × (4 2 – 1) / 4 2 × (6 2 −1) / 6 2 × (8 2 – 1) / 8 2 ve yakında. İkinci üründen terimler kaldırıldığı için, bu yeni ürünün yarıdan büyük olması gerekiyordu. Bunun Wallis ürününün tersi olduğu ortaya çıktı, yani 2 / ? veya hakkında 63. Pastanın yüzde 7’si. Wallis ürünü hakkında daha fazla bilgi ve karmaşık analizi kullanarak bunu kanıtlamanın bir yolu için Laurent Lessard’ın yazımına bakın.

Geçen haftanın çözümü Riddler Classic

Geçen haftanın Riddler Classic galibi Illinois, Urbana’dan ? Dallas Trinkle’ı tebrik ediyoruz.

Geçen hafta, bulmaca sunan Matt Yeager’in dördüncü sınıf sınıfındaki üç öğrenci – Oyuncular A, B ve C – bir damar . Her turda, oyuncular sırayla sayıları söyleyerek (Oyuncu A, sonra B, sonra C, sonra tekrar A, vb.) İlk giden oyuncu “1” sayısını söyledi. Her sayı, bir önceki oyuncunun söylediğinden bir, iki, üç veya dört fazla olmalıydı. Birisi “20, ”tur bitti ve sonraki elendi, Aşağıdaki kişi sonraki tura başlar. Örneğin, Oyuncu A “20 ”, ardından Oyuncu B elendi ve Oyuncu C bir sonraki tura“ 1 ”diyerek başladı. Hiçbir noktada kimse 20.

Üç oyuncu da ikisinden sonra kazanan (yani kalan tek oyuncu) olmak istedi mermi. Ancak kazanamayacaklarını anlarlarsa, ikinci tura geçmeye öncelik verdiler.

Oyuncu A, “1” diyerek her şeyi başlattı. Hangi oyuncu kazandı?

Avustralya, Tazmanya, Launceston’dan Çözücü Madeline Argent, oyunculardan biri elendikten sonra olacaklardan başlayarak geriye doğru çalıştı. İki oyunculu varyasyonda, ikinci oyuncu 5’in sonraki katını söyleyerek her zaman kazanabilirdi. Dolayısıyla, ilk oyuncu 1 diyecekti, ardından ikinci oyuncu 5 diyecekti. Sonra, ilk oyuncu bir sonra hangi numarayı söylerse söylesin, ikinci oyuncu 10, bunu takiben 15, bunu takiben 20, bu noktada ikinci oyuncu galip gelir.

Yani, bir sayı söyleyen ikinci oyuncunun her zaman iki oyuncu arasında kazanacağını bilmek, ne oldu üç oyuncular?

Yine, geriye doğru çalışmak anahtardı – bu sefer daha yüksek sayılarla. Diyelim ki Oyuncu A 20. Bu, Oyuncu B’yi ortadan kaldırırdı, bundan sonra Oyuncu C, A ile iki oyunculu bir oyunda 1 diyebilirdi. Diğer bir deyişle, A kazanır, ikinci sırada C ve üçüncü sırada B gelirdi! Benzer şekilde, B veya C söylendiğinde 20, sonra sırasıyla kazanırlardı.

Sonra, ya ilk söyleyen A olsaydı 19 ? O zaman B’nin 20 ve böylece B kazanır. Aslında, eğer A 16 ve 19 (dahil), sonra B 20 sonraki ve kazan.

Geriye doğru çalışmaya şu şekilde devam edebilirsiniz: Bir oyuncunun bir sayı söylediğini varsayalım k . Bu, sonraki oyuncunun k + 1, k + 2, k + 3 veya k + 4. Bir sonraki oyuncu, bu dört sayı arasından kendileri için en uygun sonucu seçer ve böylece kazanır (ya da kazanmazsa, bir sonraki tura kadar ulaşırlar). Ve böylece, orijinal oyuncu k derse ortaya çıkacak sonuç buydu. Bu şekilde geriye doğru ilerlemek size sonuçtaki tabloyu verdi:

Kim kazanır üç oyunculu damar ?

Birincilik, ikincilik ve üçüncülük bitirir (1.-2.-3.), her oyuncu üç oyunculu olarak belirli bir sayı söylediğinde damar

Örneğin, Oyuncu B 8 sayısını söyleseydi, sonuç C’nin geldiği olurdu önce B ikinci ve A üçüncü geldi.

Yapbozda size Oyuncu A’nın 1 dediği söylendiği için, daha sonra nihai kazananı belirlemek için sadece ihtiyacımız var tablodaki ilk hücreye bakın. Oyuncu B nihai kazanan oldu, ardından ikinci tura kalan A ve son olarak ilk turda elenen C geldi.

Ekstra kredi için dörde baktınız. Oyunun A, B, C ve D Oyuncularından oluşan oyuncu varyasyonu, hepsi oyunun olabildiğince çok turunu atlatmak istiyordu. Yine, Oyuncu A “1” diyerek her şeyi başlattı. Şimdi hangi oyuncu kazandı?

Tekrar, Oyuncu A’nın 19 ilk turda. Sonra Oyuncu B elenir ve C, C, D ve A arasında üçlü bir yarışma başlatırdı.Yukarıdaki analize dayanarak, üç oyunculu varyasyonda ne olduğunu zaten biliyoruz: Birinci olan kişi ikinci sırada gelir. ikinci giden kişi birinci, üçüncü giden sonuncu gelir. Yani eğer A söylendi 20, nihai sonuçlar D’nin birinci, C’nin ikinci, A’nın üçüncü ve B’nin dördüncü olması olacaktır.

Üç kişilik varyasyonda yaptığımız gibi bir tabloyu doldurmak şunları sağladı:

Dört oyunculu damarı kim kazanır?

Her oyuncu bir dört oyunculu damar

Numara Ne zaman A numara diyor Ne zaman B sayı diyor Ne zaman C numara diyor
1 BAC CBA ACB
2 ACB BAC CBA
3 CBA ACB BAC
4 CBA ACB BAC
5 CBA ACB BA C
6 CBA ACB BAC
7 BAC
CBA ACB
8
BAC CBA ACB
9
BAC CBA ACB
05 BAC CBA ACB
11 ACB BAC CBA
12 CBA ACB
BAC
13 CBA ACB BAC
14 CBA ACB BAC
15 CBA ACB BAC
16 BAC CBA
ACB
17 BAC CBA ACB
18 BAC CBA ACB
19 BAC CBA ACB
20
ACB BAC CBA

10

Numara Ne zaman Bir sayı diyor Ne zaman B numara diyor Ne zaman C numara diyor Ne zaman D sayı diyor
1 CBDA DCAB ADBC BACD
2 CBDA DCAB ADBC BACD
3 CBDA DCAB ADBC BACD
4 CBDA DCAB
ADBC BACD
5 BACD CBDA DCAB ADBC
6 BACD CBDA DCAB ADBC
7 BACD CBDA DCAB ADBC
8 BACD CBDA DCAB ADBC
9 ADBC BACD CBDA DCAB
10 DCAB ADBC BACD CBDA
CBDA DCAB ADBC BACD
12 CBDA DCAB ADBC BACD
13 CBDA DCAB ADBC BACD
14 CBDA DCAB ADBC BACD
15 BACD
CBDA DCAB ADBC
16 BACD CBDA DCAB ADBC
17 BACD CBDA DCAB ADBC
18 BACD CBDA DCAB ADBC
19 ADBC BACD CBDA DCAB
20 DCAB ADBC BACD CBDA

A birinci gittiğinden ve 1 dediğinden, dört oyunculu oyunun nihai galibi Oyuncu C , ardından B, D ve A.

İsviçre, Zürih’ten Solver Stefano Perfetti, artan oyuncu sayısıyla varyasyonları inceledi. Seni bilmiyorum ama oyuncu sayısı arttıkça bu sonuçlarda pek bir model görmüyorum.

Ama ne do bakın, zayıf Oyuncu A, ikiden 25 oyuncular. Oyuncu A’nın en iyi seçeneği kendi başına oynamaktır. Dördüncü sınıfa sempati duyuyorum.

Daha fazla bilmece mi istiyorsun?

Pekala, şanslı değil misin? Bu köşedeki en iyi bulmacalarla ve daha önce hiç görülmemiş kafa karıştırıcılarla dolu bir kitap var. Adı “Bulmacacı” ve şimdi mağazalarda!

Bir bilmece göndermek ister misiniz?

Zach Wissner-Gross’a [email protected] adresinden e-posta gönderin.

Başa dön tuşu