Pin Up promosyon kampanyası
Haberler

Dördüncü Sınıftan Daha Akıllı mısınız?

The Riddler’a hoş geldiniz. Her hafta, burada değer verdiğimiz şeylerle ilgili problemler öneriyorum: matematik, mantık ve olasılık. Her hafta iki bulmaca sunulur: ısırık boyutlu bir şey isteyenler için Riddler Express ve yavaş bulmaca hareketinde olanlar için Riddler Classic. Her ikisi için de doğru cevabı gönderin

Önemli küçük yazı: ? Kazanmak ? için doğru cevabınızı daha önce almam gerekiyor 11: 59 Pazartesi Doğu saati. Harika bir hafta sonu geçirin!

“data-footnote-id =” 1 “href =” http://fivethirtyeight.com/#fn-1 “> 1 ve bir sonraki sütunda bir not alabilirsiniz. Lütfen cevaplarınızı herkesle paylaşmak için Pazartesi gününe kadar bekleyin! Bir ipucuna ihtiyacınız varsa veya tavan arasında toz toplayan favori bir bulmacanız varsa, beni bulun Twitter.

Riddler Express

Siz ve sonsuz sayıda arkadaşınız bir pastayı paylaşıyorsunuz ve siz iki tane buluyorsunuz onu bölmenin oldukça tuhaf yolları.

İlk yöntem için, Arkadaş 1 pastanın yarısını, Arkadaş 2 kalanların üçte birini alır , Arkadaş 3, Arkadaş 2’den sonra kalanların dörtte birini, Arkadaş 4, Arkadaş 3’ten sonra kalanların beşte birini alır vb. Sonsuz sayıda arkadaşınız kendi parçalarını aldıktan sonra, Kalanı alırsın.

İkinci yöntemde, arkadaşların seni biraz daha fazla kurtarmaya karar verir. Bu sefer Arkadaş 1 1/2 alır 2 (veya dörtte biri) pastanın, Arkadaş 2, kalanın 1 / 3’ünü 2 (veya dokuzda birini) alır , Arkadaş 3, Arkadaş 3’ten sonra kalanın 1/4 2 alır ve bu böyle devam eder. Yine, sonsuz sayıda arkadaşınız kendi parçalarını aldıktan sonra, geriye kalan ne varsa alırsınız.

Soru 1: Birinci yöntemi kullanarak pastadan ne kadar alırsınız?

Soru 2: İkinci yöntemi kullanarak pastanın ne kadarını alıyorsunuz?

Ekstra kredi: Arkadaşlarınız size pastadan yeterince tasarruf etmedikleri için kendilerini oldukça suçlu hissediyorlar, bu yüzden bir yöntem daha deniyorlar. Bu sefer, ikinci yöntemden yalnızca eşit paydalı kesirleri alırlar. Yani Arkadaş 1 pastanın 1/2 2 , Arkadaş 2 ise 1/4 Kalanların 2’si , Arkadaş 3, Arkadaş 2’den sonra kalanın 1 / 6’sını 2 alır, ve benzeri. Sonsuz sayıda arkadaşınız kendi parçalarını aldıktan sonra pastadan ne kadar alırsınız?

Cevabınızı gönderin

Riddler Classic

Matt Yeager’den dördüncü sınıfta son derece popüler olan bir oyun geliyor:

Matt’in üç öğrencisi – Oyuncu A, B ve C – damar oyunuyla meşgul. Her turda, oyuncular sırayla sayıları söylerler (Oyuncu A, sonra B, sonra C, sonra tekrar A, vb.). İlk giden oyuncu “1” sayısını söyler. Her sayı, bir önceki oyuncunun söylediği sayıdan bir, iki, üç veya dört fazla olmalıdır. Birisi “20” dediğinde, tur biter ve sonraki kişi elenir, sonraki kişi sonraki tura başlar. Örneğin, Oyuncu A “20” diyorsa, Oyuncu B elenirken C Oyuncu “1.” diyerek bir sonraki tura başlar. Hiçbir noktada kimse 20 ‘dan büyük bir sayı söyleyemez.

Her üç oyuncu da iki turdan sonra kazanan (yani kalan tek oyuncu) olmak istiyor. Ancak kazanamayacaklarını anlarlarsa, ikinci tura geçmeye öncelik verirler.

Bir oyuncu kazanamazsa bunu fark edeceklerini ve buna göre plan yapacağını varsayın.

“data-footnote-id =” 2 “href =” http://fivethirtyeight.com/#fn-2 “> 2

Oyuncu A, “1” diyerek her şeyi başlatır. Hangi oyuncu kazanacak?

Ekstra kredi: Üç oyuncu yerine, şimdi varsayalım ki dört – Oyuncu A, B, C ve D – hepsi oyunun olabildiğince çok turunu atlatmak isteyen Oyuncu A yine “1” diyerek işe başlar. Hangi oyuncu kazanacak?

Cevabınızı gönderin

Geçen haftaki Riddler Express’in çözümü

Geçen haftaki Riddler Express’in galibi ? Art Morris ?’e tebrikler.

Geçen hafta, “umarım çok karmaşık değil” olarak tanımladığım bir bulmacada, üç farklı bulman gerekiyordu ikincisi birincinin karesi, üçüncüsü ikincinin karesi ve birincisi üçüncünün karesi olacak şekilde sayılar.

Sayılar için aramaya gittiyseniz, muhtemelen pek başarılı olmadı. İlk sayının karesini almak size ikinci sayıyı, ikinci sayının karesini almak size üçüncüyü ve üçüncünün karesini almak size yine ilk sayıyı verdi . Ancak 1’den büyük herhangi bir sayının karesini aldığınızda, sonuçlar gittikçe büyürken, 0 ile 1 arasındaki bir sayının karesini almak size daha küçük bir sonuç verir. Bu arada, negatif bir sayının karesini almak her zaman size verir pozitif bir sayıdır. Öyleyse, nasıl olur da üç farklı sayı olabilir ki ölçüt?

Numaralara a , b ve c , sonra denklemleri yerine getirmek zorunda kaldılar b = a 2 , c = b 2 ve a = c 2 . Bu denklemleri bir araya getirmek, a 8 = a ve her iki tarafı da a , a 7 = 1. a = 1’in bu denklem için bir çözüm olduğu doğru olsa da, a , b için üç farklı değer bulmanıza yardımcı olur ve c .

Bu noktada birçok okuyucu en başından itibaren ipucuna – “umarım çok karmaşık değildir” aslında karmaşık sayıları keşfetmenizi öneriyordu. Denklem a 7 = 1 yedi farklı çözüme sahiptir – birliğin yedi kökü. Çözücü Venk Natarajan bunları standart biçimde cos (2? k / 7) + şeklinde yazmıştır. i · günah (2? k / 7), burada i hayali birimdir ve k 7’den küçük herhangi bir tam sayıdır (yani, 0, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6). Devam edin – k için bir değer seçin ve bu karmaşık sayıyı yedinci kuvvete yükseltin. 1 değerini alacaksınız!

Çoğu çözücü bu karmaşık birlik köklerini kutupsal biçimde yazmayı seçti: exp (2? ik / 7). Birim çember üzerinde karmaşık bir sayının karesini almak, argümanını veya pozitif gerçek eksenle yaptığı açıyı ikiye katlamaya eşdeğerdir. Exp (2? i / 7) sayısı birim çemberin yedide biriydi; kare alma size yolun yedide ikisi olan bir sayı verdi; size etrafının yedide dördü olan bir sayının karesini almak ; ve karesini almak size yaklaşık sekizde yedide bir sayı verdi, bu da yedide birine eşitti – orijinal sayı!

Yani birbirinin karesi olan üç farklı sayı exp (2? ben / 7), exp (2? ben · 2/7) ve exp (2? ben · 4/7) .

Ekstra kredi için aynı özelliğe sahip başka üç numara bulmak için. Hewitt Okulu Problem Çözme ve Poz Verme Sınıfı’ndaki çözücüler, yukarıdaki cevabın birliğin sadece üç kaynağını içerdiğini fark etti – peki ya diğerleri?

Kök exp (2? i · 3/7) birim çemberin yolunun yedide üçüydü; kare alma size yaklaşık altıda yedide bir sayı verdi; yedide beşe eşit olan on iki yedide bir sayı veren karenin alınması; ve karesini almak size yaklaşık on yedide on yedide üçe eşit olan bir sayı verdi – orijinal sayı. Bu, birbirinin karesi olan diğer üç farklı sayının exp (2? i · 3/7), exp (2? i · 6/7) ve exp (2? i · 5/7) .

Karmaşık sayılar bir dahaki sefere bu sütunda sürpriz bir şekilde görünene kadar, onu gerçek tutmayı unutmayın!

Geçen haftaki Riddler Classic’in çözümü

Geçen haftaki Riddler Classic’in galibi Toronto, Ontario, Kanada’dan ? Emma Knight ?’ı tebrik ediyoruz.

Geçen hafta, Martina ve Olivia kendi rastgele gerçek sayılarını gizlice oluşturdular, 0 ile 1 arasında tekdüze bir şekilde seçildiler. Martina’dan başlayarak sırayla kim düşündüklerini açıkladılar (böylece diğeri duyabilecekti) Muhtemelen kabul ettikleri ilk ana kadar daha fazla sayı vardı. Bu süreç boyunca, sayıları değişmedi. Örneğin, diyalogları şu şekilde ilerlemiş olabilir:

Martina: Benim sayım muhtemelen daha büyük.

Olivia: Benim sayım muhtemelen daha büyük.

Martina: Numaram muhtemelen daha büyük.

Olivia: Numaram muhtemelen daha büyük.

Martina: Olivia’nın numarası muhtemelen Daha büyük.

Kimin daha fazla sayıya sahip olduğunu doğru bir şekilde tahmin etme şanslarını en üst düzeye çıkarmak umuduyla bir takım olarak oynuyorlardı.

Rastgele oluşturulmuş herhangi bir tur için sayılar, üzerinde anlaştıkları kişinin gerçekten daha büyük sayıya sahip olma olasılığı neydi?

Bu bulmacayı yorumlamanın birden fazla yolu vardı. Bunun bir yolu, Martina ve Olivia’nın birbirlerine karşı dürüst olduklarını varsaymaktı ve her zaman “muhtemelen” ifadesini kullanarak en azından bir 50 gerçek olma olasılığı yüzde. Şimdilik, bu yorumu izleyelim ve nereye götürdüğünü görelim.

Martina’nın numarasının x olduğunu varsayalım. ) ve Olivia’nınki y idi, her ikisi de rastgele, bağımsız ve tek tip olarak 0 ile 1 arasında seçildi. Tüm olası sıralı çiftlerin kümesi ( x , y ) (0, 0), (1, 0), (1, 1) ve (0, 1) ‘de köşeleri olan birim kare olarak tanımlanır. Bu meydanın içindeki hangi bölgeler için Martina ve Olivia doğru şekilde hemfikirdi?

x ne zaman daha büyüktü 0,5’ten büyük, Martina numarasının muhtemelen daha büyük olduğunu söylerdi (Olivia bunu anlar ki x 0,5’ten büyüktür). Bu arada, y 0,5’ten küçükse, Olivia, Martina’nın sayısının daha büyük olduğunu doğru bir şekilde kabul ederdi. Benzer şekilde, eğer x 0,5’ten küçükse ve y 0,5’ten büyüktü, çift doğru şekilde kabul ederdi. Zaten, bu iki senaryo birim karenin yarısını oluşturuyordu.

Ama ya her ikisi de x ve y 0,5’ten büyük mü? Yine, Martina başlangıçta muhtemelen daha büyük sayıya sahip olduğunu söyleyecekti. Eğer x ve y 0’ın her iki tarafındaydılar. 75, doğru şekilde kabul ederlerdi. Hem x hem de y 0’dan büyüktü. 75, katılmazlar ve 0 ile devam ederler. 875 (0. 75 ve 1) sonraki gibi pivot.

Ancak, eğer x ve y hem 0.5 hem de 0 arasındaydı. 75, sonra Martina ilk önce muhtemelen daha büyük sayıya sahip olduğunu söyleyin ve ardından Olivia kabul edeceğini ve her şeyi hemen orada bitireceğini söylerdi. Bu noktada, ikisi de biliyordu x ve y 0,5 ile 0 arasındaydı. 75. Ancak herhangi bir ek bilgi olmadan, her birinin daha büyük bir sayı olma olasılığı eşittir, yani yüzde 50 Olivia’nın daha büyük sayıya sahip olduğu tahmininin doğru olması ihtimali doğruydu.

Çözücü Austin Shapiro, birim kareyi grafiğini, tartıştığımız vakalara ayırdı (ve değerleri belirtmek için ikiliyi kullanarak) tahminler). Sağ üst yarı, Olivia’nın sayısının daha fazla olduğu zamanı gösterirken, sol alt yarı, Martina’nın sayısının daha büyük olduğu zamanı gösterir. Bu arada, yeşil gölgeli kareler ve dikdörtgenler, Olivia’nın sayısının büyük olasılıkla daha büyük olduğu konusunda hemfikir olduklarını belirtirken, pembe, anlaştıklarında Martina’nın sayısının muhtemelen daha büyük olduğunu gösterir.

unit square showing for each pair of coordinates (i.e., random numbers selected by martina and olivia) what their sequence of guesses is, whom they ultimately agree has the greater number, and when they are correct.

Doğru tahmin etme olasılığı, diyagonal bölme çizgisinin “doğru” tarafındaki alanın kesiridir. Bunu hesaplamanın bir yolu, üçgenlerin “yanlış” taraftaki alanlarını toplamaktı. Ortadaki en büyük iki üçgenin her biri 1 / 20 alanına sahipken, sonraki en büyük çiftlerin her biri dörttür önceki çiftten kat daha küçük. Bu alanları toplamak size sonsuz bir geometrik dizi verdi: 1 / 16 · (1 + 1 / 4 + 1/4 2 + 1/4 3 +…), 1 / 16 · 4/3 veya 1 / 12. Yine bu, Martina ve Olivia’nın yanlış olma olma olasılığıydı, bu da haklı olma olasılıklarının 11 / 12 . Fena değil ve yazı tura atmaktan çok daha iyi!

Baştan söylediğim gibi, bulmacayı yorumlamanın başka bir yolu vardı: Martina ve Olivia her zaman doğru olmayabilirdi ama olabilirdi haklı olma şanslarını artırmak anlamına geliyorsa stratejik olarak yalan söyledi – keşke bu strateji üzerinde önceden anlaşmalarına izin verilseydi. Çözücü Laurent Lessard’ın gözlemlediği gibi, Martina ve Olivia, ilk ifadelerinin ilgili sayıların 0’dan büyük olup olmadığını söylediğini kabul edebilirler. 01, ikinci olarak sayılarının 0’dan büyük olup olmadığı. 02, ve benzeri. Örneğin, her iki sayı da 0. 63 ile 0 arasında olursa şanssız olabilirler. 64. Ancak keyfi bir hassasiyetle, sabır gösterdikleri kadar başarılı olma olasılıkları da olabilir.

Ekstra kredi için, Martina ve Olivia yalnızca Olivia Martina ile ilk anlaştığında durursa ne olacağını düşündünüz. . Bunun sonuçları etkilemediği ortaya çıktı. Martina ve Olivia doğru bir şekilde oynuyor olsalardı, doğru olma şansları yine de vardı 11 / 12 . Ancak stratejik olarak oynuyorlarsa, önceden herhangi bir iletişim olmadan her zaman doğru olmalarının bir yolu vardı: Martina Her seferinde bir rakam olacak şekilde numarasının ikili gösterimi, böylece Olivia kabul etmek için tam olarak doğru zamanı bilecek.

Daha fazla bilmece mi istiyorsun?

Pekala, şanslı değil misin? Bu sütundaki en iyi bulmacalarla ve daha önce hiç görülmemiş kafa karıştırıcılarla dolu bir kitap var. Adı “The Riddler” ve şimdi mağazalarda!

Bir bilmece göndermek mi istiyorsunuz?

Zach’e e-posta gönder Wissner-Gross, [email protected]

Başa dön tuşu